【三個門 機率】驚天大解密：三個門的機率之謎，換或不換？

蒙提霍爾悖論：換門還是堅持？

在電視遊戲節目《交易時刻》中，主持人蒙提霍爾提供了一個經典的機率難題：

假設有三扇門，其中一扇後方藏著汽車，其餘兩扇後方則藏著山羊。參賽者選擇一扇門後，霍爾會打開另一扇後方藏有山羊的門，並問參賽者：「要不要換扇門？」

直覺上，換門和堅持原來的選擇似乎機率相同，但令人驚訝的是，換門的獲勝機率會增加兩倍。

機率分析

假設參賽者最初選擇了A門，以下為各種情境的機率分析：

當A門有車時，換門必定得到汽車；當B或C門有車時，換門則必定得到山羊。因此，換門獲勝的機率為 2/3 + 1/3 = 1，而堅持原來的選擇獲勝的機率僅為 1/3。

簡潔證明

假設參賽者最初選擇了羊。換門後，獲勝機率為 選中汽車的機率，即 1/3。相反地，堅持原來的選擇，獲勝機率為 選中山羊的機率，即 2/3。

逆向思維

從霍爾的視角思考：無論參賽者最初選擇哪扇門，他都會打開一扇有山羊的門。因此，參賽者換門將意味著選擇最初未選擇的另一扇門。由於一開始選中山羊的機率為 2/3，因此換門的機率和原先選中車輛的機率相等，即 1/3。

結論

儘管直覺上令人難以置信，但蒙提霍爾悖論表明，在這種情境中，換門是增加獲勝機率的最佳策略。這種看似非理性的選擇彰顯了機率推理的微妙和令人困惑的本質。

三個門機率：蒙提霍爾問題與機率謬誤

蒙提霍爾問題，又稱三個門機率，是一個著名的機率謎題，挑戰了人們對機率的直觀理解。

問題陳述

在一個遊戲節目中，玩家被帶到三扇關閉的門後面。門後面各藏著一輛汽車或一頭山羊。主持人隨機選擇一扇藏著山羊的門打開。然後，主持人問玩家是否要堅持選擇原來的門，還是切換到另一扇未打開的門。

機率分析

直觀上，許多人認為堅持選擇原來的門和切換到另一扇門的機率相同，都是 1/2。然而，機率分析表明事實並非如此。

假設玩家最初隨機選擇了一扇門，記為 A。主持人公開了一扇藏著山羊的門，記為 B。玩家的選擇有以下兩種：

堅持選擇 A

在玩家選擇 A 後，主持人知道另外兩扇門後面一定有一個藏著山羊的門，一個藏著汽車的門。因此，堅持選擇 A 的機率為：

(1/2) * (1/2) = 1/4

切換到 C

主持人選擇打開 B 後，B 後面一定藏著山羊。因此，A 和 C 後面藏著汽車的機率相同，都為：

因此，切換到 C 的機率為：

1 - 1/4 = 3/4

機率謬誤

許多人會直觀地認為堅持選擇原來的門和切換到另一扇門的機率相同，但機率分析表明並非如此。這是因為人們常常陷入機率謬誤，即認為當一個事件發生後，其他事件發生的機率不會改變。

延伸閲讀…

換？還是不換？

三門問題_百度百科

在這個問題中，當主持人打開 B 後，A 和 C 後面藏著汽車的機率並非相等。因此，切換到 C 是更明智的選擇。

表格總結