【8角形 面積】見識八角形之美！揭密 8 角形面積 神奇公式

八邊形概論

在幾何領域，八邊形，或稱八角形，是指具有八條邊和八個頂點的多邊形，其內角和為 1080 度。八邊形種類繁多，其中對稱性最高的為正八邊形。根據類角性質，其他八邊形可分為凸八邊形和非凸八邊形，其中凸八邊形定義為所有內角均小於 180 度。非凸八邊形可進一步細分為凹八邊形和星形八邊形，後者為自我相交的八邊形。

面積和邊長關係

對於給定邊長為 a 的正八邊形，其面積可表示為：

面積 = (2 + √2) * a^2

若已知外接圓半徑為 R，則面積為：

面積 = 2 * R^2

若已知內切圓半徑或邊心距為 r，則面積為：

面積 = 4 * r^2

其中，寬度 S 等於次短對角線長度，而 a 為邊長或某一底邊長度。

正八邊形的特性

正八邊形是由八條等長邊和八個等角構成的正多邊形。其內角為 135 度，對偶多邊形為正方形。正八邊形可由兩個梯形和一個矩形組合而成，該圖形稱為八邊形-四邊形圖。

正八邊形的證明

考慮一個在正方形內外的正八邊形，其中正方形與正八邊形的四條邊部分重疊。切割正方形四個直角可得到四個等腰直角三角形。

移除四個等腰直角三角形後，可拼合成一個邊長等於正八邊形邊長的正方形。

若邊長為 a，則寬度 S 為：

S = a / √2

面積與寬度關係為：

面積 = S * a

由此可確定邊長 a，即將正方形切割成正八邊形的過程。

旋轉對稱性

在一個圓內接正方形，並旋轉 45 度後獲得一個新正方形。新正方形頂點與舊正方形頂點相交，形成八個點。順序連接這些點，可得到一個八邊形。

由於旋轉對稱性，可發現若干全等三角形。根據全等形對應邊和對應角相等的性質，可推導出八邊形為正八邊形。

八邊形的分類

八邊形分類如下：

8角形面積計算公式

8角形的面積計算公式為： A = 1/2 * P * a

其中：
* A：8角形的面積
* P：8角形周長
* a：8角形中心到一邊的距離（又稱斜高）

8角形面積計算步驟

1. 計算8角形周長 (P)：

   • P = 8 * 邊長（s）

2. 計算8角形中心到一邊的距離 (a)：

   • 使用勾股定理：a^2 = ((s/2)^2) + (斜邊/2)^2
   • 求得 a = sqrt((s^2)/4 + (斜邊/2)^2)

3. 代入公式計算面積 (A)：

   • A = 1/2 * P * a
   • A = 1/2 * (8 * s) * sqrt((s^2)/4 + (斜邊/2)^2)

範例計算

已知8角形的邊長為10 cm，斜邊長度為15 cm，計算其面積：

延伸閲讀…

八邊形- 維基百科，自由的百科全書

正八邊形計算器

1. P = 8 * s = 8 * 10 cm = 80 cm
2. a = sqrt((s^2)/4 + (斜邊/2)^2) = sqrt((10 cm)^2/4 + (15 cm/2)^2) = 11.18 cm
3. A = 1/2 * P * a = 1/2 * 80 cm * 11.18 cm = 447.2 cm^2

面積公式應用

8角形面積公式在建築、設計和規劃中都有廣泛的應用，例如：

• 計算房間或建築物的地板面積
• 規劃公園或花園的規劃
• 設計桌椅或其他傢俱的表面積

延伸應用：特殊8角形面積公式

對於某些特殊的8角形，存在更簡便的面積計算公式：